Pre nego što je u svesti samog čoveka nikao racio, matematika je već uveliko postojala. Prvi ljudi su opažajući svet oko sebe polako počeli da uviđaju i osnovne principe ove nauke. Kako je naš um postajao sve razvijeniji tako smo i sve više bili u mogućnosti da zađemo dublje u beskrajne predele matematike. Ubrzo smo shvatili da se sve može izraziti brojevima, da sve u svojoj biti i jeste na neki način sačinjeno od njih. Neki od nas imaju izraženiji instinkt za pronalaženje ovih „prirodnih zakona“. Jedan od njih svakako jeste – Nikola Velov, naš mladi matematičar. Sa njim sam imala priliku da razgovaram o brojnim teorijama o kojima se među naučnim krugovima u današnje vreme ponajviše polemiše. Mada sam vazda zazirala od matematike, Nikola je ipak uspeo da mi ukaže na to šta se nalazi sa one strane „ogledala“ i kako to izgleda „prava“ matematika a ne ona sa kojom smo se svi susretali u školskim klupama. Ako vi, pak, plivate u ovim vodama – evo jednog zanimljivog teksta o najegzaktnijoj nauci; a ako ste sličnog kova kao ja – dajte matematici još jednu šansu da vas zainteresuje.
Intervju: Nikolina Gavrilov
Najpre, da li bi nam se predstavio? I podelio sa nama šta te je izvorno privuklo matematici i koja su prva rana sećanja iz detinjstva koja imaju veze s matematikom?
Ja sam Nikola Velov, imam 24 godina i završio sam teorijsku matematiku. Matematika mi je oduvek bila bliska u smislu da je to bilo nešto što sam jednostavno znao da radim bolje od ostalih. Na početku školovanja se sećam da nikada nisam učio matematiku, jer mi je uvek sve bilo jasno. Kasnije sam otkrio matematička takmičenja koja su mi bila mnogo zanimljiva, jer su mi prvi put predstavljala izazov, pa sam se fokusirao na njih. Kada sam osvojio bronzanu medalju na Međunarodnoj Matematičkoj Olimpijadi 2017. godine, bio sam siguran da treba da se bavim upravo matematikom.
Može li neko postati vrstan matematičar prirodnom predisponiranošću odnosno talentom ili su takve filmske priče isključivo filmske?
Mislim da postoji neka količina urođenog talenta koja je neophodna da bi neko bio uspešan matematičar, ali ne bih rekao da je taj prag toliko visok kao što ljudi misle. U osnovnoj školi sam išao na takmičenja iz matematike, ali se nisam spremao i onda nisam imao neke posebno dobre rezultate. Počeo sam da osvajam nagrade na međunarodnim takmičenjima tek kada sam počeo intenzivno da se spremam za njih. Nekoliko godina sam se spremao pre nego što sam osvojio medalju na Međunarodnoj Matematičkoj Olimpijadi u Brazilu 2017. godine.
U razgovoru pre intervjua spomenuo si kako je matematika bila tu pre nas, a mi ljudi smo je u suštini samo pronašli. Možeš li da nam razradiš ovu tezu?
Matematika je bila pre nas u smislu da je nezavisna od civilizacije. Matematičke činjenice su tačne i postoje bez obzira na to da li smo mi svesni njih ili ne. Kada bi nekako nestala cela civilizacija i kada bismo svi zaboravili na brojeve i geometrijske objekte, posle nekog vremena bi oni ponovo bili otkriveni. Po meni je to dokaz da matematika predstavlja zakone sveta u kojem živimo, a koji su viši od nas samih i naših zakona, želja i ciljeva.
Tvoja trenutna okupacija je mahom teorija brojeva, približi nam šta ova teorija podrazumeva?
Elementarna teorija brojeva se pre svega bavi razumevanjem strukture prirodnih i celih brojeva. Prirodni brojevi su oni koje koristimo kada brojimo neke objekte, na primer 1,2,3,4 i tako dalje. Celi brojevi obuhvataju i nulu i negativne brojeve. To su praktično brojevi koje možemo da sabiramo, oduzimamo i množimo, ali ne i da delimo. Nekada se teorija brojeva zvala aritmetika i ima dosta dugu istoriju. Izučavali su je još i stari Grci. Zapravo mnogi problemi iz tog perioda nisu rešeni ni posle 2000 godina. Jedan takav problem je pitanje o postojanju beskonačno savršenih brojeva, koje se javlja u Euklidovoj knjizi „Elementi“ iz perioda oko 300. godine p.n.e. Još nije poznato da li postoji beskonačno mnogo savršenih brojeva.
Sada kad smo donekle razjasnili šta se misli kada se kaže elementarna teorija brojeva, hajde nam pojasni šta je to geometrijska teorija brojeva?
U modernoj matematici je došlo do saznanja da čak i brojevi poseduju izvesnu geometrijsku strukturu. To nije neka geometrija koju možemo lako da zamislimo niti da nacrtamo. To su neke apstraktne osobine i strukture koje se najjasnije vide u geometriji na koju smo navikli, ali se mogu preneti i na brojeve. Tu je pre svega značajna Grotendikova teorija shema, koja omogućava da brojeve posmatramo kao funkcije na nekom geometrijskom prostoru. Ako zađemo malo u stručne termine, algebarskoj strukturi kao što je prsten možemo da pridružimo geometrijski objekat koji poseduje neku topologiju (zbog toga kažemo da je u pitanju geometrija) i ima na sebi definisane funkcije. Celi brojevi čine prsten, pa zbog toga možemo da ih posmatramo geometrijski i da dođemo do novih zaključaka. Ovo je centralna ideja u modernoj teoriji brojeva.
A algebarska teorija brojeva?
Algebarska teorija brojeva se bavi „uopštenim brojevima“. Ako rešavamo neku jednačinu i tražimo rešenja koja su prirodni ili celi brojevi, to ume da bude dosta komplikovano. Zbog toga istu jednačinu probamo da rešimo u nekom većem skupu brojeva koji imaju bogatiju strukturu. Ta struktura nam omogućava da koristimo veći spektar tehnika i zapravo olakšava nalaženje rešenja. Jedan primer brojeva koje izučava algebarska teorija brojeva su takozvani Gausovi celi brojevi. Oni se praktično sastoje iz dva cela broja, jedan je realan, a drugi je imaginaran. Gausovi celi brojevi mogu da se dele sa ostatkom slično kao i obični brojevi i uglavnom se ponašaju slično kao brojevi na koje smo navikli, ali na primer ne mogu da se upoređuju po veličini. Algebarska teorija brojeva proučava razne vrste ovakvih brojeva koji sadrže i brojeve na koje smo navikli, ali su u nekom smislu veći i komplikovaniji.
Kriptografija takođe, uslovno rečeno, potpada pod teoriju brojeva; posebno mi je bilo zanimljivo kada si mi objašnjavao kako su naši telefoni zapravo šifrovani pomoću eliptičke krive, kako bi na najjednostavniji način ovo objasnio našim čitaocima?
Eliptičke krive su geometrijski objekti, to su krive u ravni. Uprkos svom imenu, nemaju veze sa elipsama. To ime potiče pre svega iz istorijskih razloga. Ideja u kriptografiji je da se koristi množenje prirodnih brojeva kako bi se šifrovao neki podatak. Ako imam neki veliki broj, u opštem slučaju je komplikovano da znam kako on može da se napiše kao proizvod manjih brojeva, međutim sa jačanjem računarske moći, postalo je moguće razbijati ovakvo šifrovanje. Revolucionarna ideja u kriptografiji je da se umesto množenja brojeva koristi struktura množenja na eliptičkoj krivoj. To je neka geometrijska kriva koja ima na sebi tačke. Ako imamo dve tačke na krivoj, uzmemo pravu liniju koja ih spaja, presečemo je sa krivom i dobijemo treću tačku. Ova treća tačka je praktično njihov proizvod. Na ovaj način dobijamo množenje tačaka koje je mnogo komplikovanije, pa su zbog toga podaci šifrovani preko ovog množenja sigurniji.
Grana matematike koja je takođe sastavni deo svakodnevice je i finansijska matematika, pomoću koje se predviđaju kretanja na berzi. Koji su dometi predviđanja imajući u vidu brojnost faktora koji mogu uticati na ta kretanja? I s tim u vezi kako matematika tretira nepredvidivost (događaja)?
Najčešće se koriste razni matematički modeli, pre svega verovatnoća i matematička statistika. Prave se procene kretanja vrednosti nekih akcija, računa se koji dobitak se očekuje na razlici i slično. Ideja je obično da se kupe neke akcije kada su jeftine tako što se podigne kredit, da se izračuna kada je najisplativije da se prodaju, da se vrati nazad kredit i da se zaradi na razlici. Međutim, to je dosta komplikovano da se sve isprati, zato što treba voditi računa o raznim kamatama, uklapati više vrsta akcija istovremeno i slično. Zbog toga je neophodno dobro znanje matematike, kako bi se donosile najbolje moguće odluke.
Kako matematika može da spasi laboratorijske pacove, odnosno zašto je biomatematika u ekspanziji?
U poslednje vreme je došlo do raznih zanimljivih primena matematike u biologiji i medicini. Koriste se diferencijalne jednačine i teorija dinamičkih sistema kako bi se modelovali živi sistemi. Ovi modeli dalje pojednostavljuju dizajniranje lekova za razne bolesti. Praktično ponašanje nekog biološkog sistema može dobro da se objasni nekim diferencijalnim jednačinama ili stohastičkim procesima. Nakon toga se koristi matematika kako bi se ti procesi što bolje razumeli i kako bi se napravili teoretski eksperimenti na tim modelima.
Mesto na kojem se matematika susreće sa jednom drugom naukom, fizikom, je diferencijalna geometrija, upravo su njeni principi olakšali Ajnštajnu dokazivanje teorije relativiteta. Da li bi nam ovo dodatno pojasnio?
Možda nije loše da se na početku ogradim da nisam fizičar, tako da mi onaj deo teorije relativnosti koji je vezan za fiziku nije jača strana. Sa druge strane, po mom poznavanju, Ajnštajnova teorija relativiteta je bazirana na matematičkoj teoriji koja se zove diferencijalna geometrija. Praktično smo navikli da svet posmatramo koristeći Euklidsku geometriju, gde je prostor maksimalno ispravljen. Diferencijalna geometrija nam omogućava da razumemo komplikovanije geometrijske objekte, koji imaju neku zakrivljenost, ali lokalno liče na običan prostor. Jedan dobar primer je ovaj – iako je naša planeta zakrivljena, mi smo dovoljno mali u odnosu na nju da bi nam izgledala kao da je ravna. Pomoću diferencijalne geometrije možemo da izučavamo zakrivljene objekte koji izgledaju ravno kada se posmatra neka mnogo mala okolina tačke u kojoj stojimo. Ispostavlja se da je ovakav način posmatranja fizičkog sveta dosta precizniji.
Ko je matematičar čija istraživanja u tebi bude znatiželju?
Meni lično najinteresantniji matematičar je Aleksandar Grotendik. On se smatra osnivačem moderne algebarske geometrije, pre svega teorije shema. Njegovi doprinosi su napravili revoluciju u mnogim oblastima matematike kao što su teorija brojeva, klasična algebarska geometrija, kompleksna geometrija i drugo. U nekom smislu, Grotendik je proširio naše shvatanje toga šta zapravo znači geometrija. On ima i dosta zanimljivu životnu priču. Dobar deo svog života je proveo bez državljanstva, zvanično kao izbeglica. Bio je radikalan pacifista. Iz protesta protiv rata u Vijetnamu je držao predavanja o teoriji kategorija u džunglama. Napustio je institut na kojem je došao do svojih najvećih otkrića zbog političkih razloga, zato što mu se nije svidelo ko ga finansira. Poslednji deo svog života je proveo živeći u jednom selu na Pirinejima, razmišljajući o matematici, filozofiji, religiji i njihovim međusobnim vezama.
Trenutno se najviše radi na Langlands program-u, zbog čega su matematičari širom sveta najviše fokusirani na rešavanje problema konekcije teorije brojeva i geometrije?
Za Langlandsov program može da se kaže da povezuje sve ključne oblasti matematike. Cilj Langlandsovog programa je da poveže matematičku analizu, geometriju i teoriju brojeva u jednu teoriju koja može da ih unifikuje. To je praktično niz hipoteza koje predstavljaju most između analitičke teorije brojeva sa jedne strane i uopštenja algebarske geometrije sa druge strane. Glavni cilj je da omogući da razne algebarske i aritmetičke osobine i informacije možemo da dobijemo pomoću analitičkih metoda. Zbog toga se mnogi od najboljih matematičara na svetu upravo bave ovim problemima.
A na čemu ti trenutno radiš i gde prezentuješ svoj rad?
Pre svega pokušavam što bolje da naučim modernu teoriju brojeva. Postoji zaista mnogo tehnika i pojmova koje treba razumeti, a to je i lakši deo posla. Najteži deo je da se to primeni. U ovom momentu pokušavam da uopštim neke osobine takozvanih klasnih grupa brojevnih polja na opštije strukture, koristeći modernu algebarsku geometriju i teoriju shema. Povremeno se bavim i kombinatornim problemima, oni su nekako pristupačniji zato što ne zahtevaju previše predznanja. Što se tiče prezentovanja, postoje razni seminari, konferencije, radionice i slično. Obično učestvujem na seminarima gde održim predavanje o nečemu čime se bavim u tom momentu. Prošle godine sam učestvovao i na jednoj konferenciji za kombinatoriku gde sam predstavljao napredak na jednom problemu iz diskretne geometrije. U martu sam učestvovao na jednoj online zimskoj školi koja ima sedište u Arizoni u SAD, gde sam između ostalog slušao predavanje od Venkateša, koji je dobitnik Fildzove medalje, što je praktično ekvivalent Nobelove nagrade u matematici. Postoje razne aktivnosti gde matematičari mogu da prezentuju svoj rad.
Pored istraživačkog rada, baviš se i pripremama mladih za matematičke olimpijade čiji si i sam učesnik bio tokom srednjoškolskih dana. Koji su najveći izazovi u pedagoškom radu sa mladima?
Uglavnom radim sa osnovcima i srednjoškolcima. Kada sam bio srednjoškolac, tada mi je to bila najvažnija stvar u životu. Prošlo je već 5 godina od kako sam išao u Rio de Žaneiro na Međunarodnu Matematičku Olimpijadu, ali i dalje mi je ostao utisak da su ta takmičenja dosta važna. Na osnovnim studijama sam se takmičio i na Međunarodnom Matematičkom Takmičenju za studente. Tamo imam jednu srebrnu i tri zlatne medalje i jedan sam od najboljih takmičara sa ovih prostora. Kada radim sa decom, pokušavam da im prenesem najvažnije stvari koje sam ja stekao kroz iskustvo. Neke stvari sam naučio na teži način, pa pokušavam da im olakšam tako što im objasnim kako treba da se spremaju i kako da organizuju svoje vreme na samom takmičenju. Objavio sam ove godine i jednu zbirku zadataka sa olimpijskim zadacima, nadam se da će im biti od koristi.
Preporuči nam dobar podkast.
Možda nije baš podkast, ali mislim da je svakako dosta zanimljiv sadržaj. Ričard Borčerds, dobitnik Fildzove medalje, snima i postavlja na Youtube predavanja na razne teme kao što su istorija i filozofija matematike, elementarna teorija brojeva, matematička logika i slično. Neka su možda malo teža da se prate, ali mislim da su predavanja o istoriji matematike verovatno dostupna svima, a možda i neka predavanja o elementarnoj teoriji brojeva. Ja sam svakako dosta naučio od njih.
I za kraj, kako zainteresovati mlade za matematiku? Da li postoji neka suštinska greška u našem sistemu obrazovanja kada se radi o ovoj nauci; i ako da – koja i kako predlažeš da je ispravimo?
Ja bih rekao da obrazovni sistem pre svega ima problem što matematiku predstavlja kao neko šablonsko rešavanje jednačina i račun. Deca uče neke algoritme i onda treba da ih ponove na testu, umesto da uče kako logički da razmišljaju. Takva matematika ni meni nikada nije bila zanimljiva, da nisam išao na matematička takmičenja, nikad ne bih shvatio kako matematika stvarno izgleda. Moj predlog da se ovaj problem reši je da se reformiše program za matematiku, da se veći akcenat stavi na matematičku logiku i matematičke dokaze, a manji na račun i gotove algoritme.
